对数vs线性vs二次vs指数形式，到底选择哪种进行计量建模？

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正文

在实证研究中，学者们经常用到的三种模型形式：线性，log-log，以及log-linear。

为什么需要取对数呢？

一些学者主要考虑到某些变量有长尾现象，即存在左偏或右偏的情形。不过，无论是因变量还是自变量，OLS回归都没有对其（正态）分布做要求，而只是要求Residual符合正态分布。

通常有两种方法告诉你，是否需要对因变量取对数。第一，分别用Y和logY对自变量做回归，然后看两个模型中的residuals是否符合正态分布。此时，若logY模型中的residual更符合正态分布，我们就需要对Y取对数。第二，分别画Y与X，以及logY与X的二维图，从图形上谁看起来更像一条直线。

对log-log,  linear-log, log-linear等模型形式的解释：

建立模型：让数据帮助你决定何时应该根据经济学逻辑选择模型。就是经济学理论并未告诉我们该使用何种形式的模型，此时可以借助图形来做初次识别。

是线性还是log形式，我们首先可以对Y和核心解释变量X的log或线性形式做二维图，看哪种形式下二者间存在线性关系。例如，若logY与logX呈现线性形式，那这个模型就是log-log形式的，此时logX前面的系数就是弹性的意思。

Box-Cox转换及检验

除了上面提到的图形检验，有更为精确的统计检验来帮助我们建立各种模型形式，比如，线性，semi-log，倒数。

当θ=-1/0/1三种情况下，代表的三种模型形式：

Box-Cox检验的Stata执行程序如下：boxcox sales3 + 所有自变量（控制变量）

Box-Cox检验的结果输出

Box-Cox检验拒绝了θ=-1/1，但不能拒绝θ=0，而能够得到最大的likelihood score的θ=-0.05。

关于方程右边是选择变量的对数还是线性形式，此时只需要关注R²的变化，哪个模型所得到的R²越大就选择他。

总结选择对数或线性模型的方法：

1. 从根本的经济逻辑开始考虑用线性还是百分比形式？
2. 如果没有主导性的经济逻辑，就让数据告诉你。
3. 当选择方程右边变量时，确保在进一步构建模型时你不太可能继续改进R²。
4. 使用Box-Cox检验确定是否通过log形式来转换方程左边的变量。
5. 既然你已经确定了方程左边的变量，建立你模型的右边变量。可以使用R²来确定是使用对数变量还是线性变量。（请记住，我们很少使用线性对-数形式（linear-log），因为它很难解释。）你可以在方程右边添加一些变量、对他们取对数或再次取出它们三者间来回切换。这样的实验是正常的，因为你可以让稳健性成为你包含一个变量的指南。
6. 一旦你有了最终的模型，重新进行Box-Cox检验来确认模型。不过，不要觉得每一步都需要做Box-Cox。这是浪费时间，如果你从一个好的核心模型开始，完全没有必要做Box-Cox检验。

对数vs线性vs二次vs指数形式，具体模型设定形式以及系数解释总结如下：

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